# Noções preliminares
# Par ordenado
Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos.
Assim {1,0},
{c,d}, {-1,2} indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de conjuntos,
observamos que inverter a ordem dos elementos não produz um novo par:
{1,0}={0,1}.
Em diversas situaçõe, entretanto, faz-se necessário
distinguir dois
pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações
t+u=1;
t-u=3;
t=2 e u=-1 é solução, ao passo que t=-1 e u=2 não
é. Assim, {2,-1} seria
solução e {-1,2} não seria solução. Há uma contradição, pois sendo {2,-1}=
{-1,2}, o mesmo conjunto é e não é solução. Por isso diz-se que a solução é
o par ordenado (2,-1)onde fica subentendido que o primeiro elemento <2>
refere-se a incógnita 't' e o segundo elemento <-1> refere-se a incógnita 'u'.
Ou seja, os parênteses em substituição às chaves indicam que a ordem dos
elementos deve ser considerada.
Assim, dados dois elementos 'a' e 'b', denomina-se par
ordenado a
um terceiro elemento da forma (a,b) que satisfaz às seguintes propriedades
fundamentais:
I - a ¹b => (a,b) ¹(b,a);
II - (a,b)=(b,a) => a=b;
A exemplo do que ocorre entre os pontos da reta e os
números reais,
temos entre pontos de um plano e pares ordenados uma perfeita correspondência
biunívoca.
Observações:
a) Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais se e somente se a=c e c=d.
b) Um par ordenado do tipo (a,a) é determinado par idêntico.
c) Num par (a,b), 'a' é denomionada
1ª coordenada, 1ª projeção ou
abscissa do par, e 'b' de 2ª coordenada, 2ª projeção ou ordenada do par.
d) Um par ordenado (a,b) tem como
consecutivo todo par ordendo do tipo
(b,c); o par (a,c) é denominado composto dos dois primeiros.
Exemplo 1:
Dado o par (2,3), podemos dizer que (3,5) é um dos seus consecutivo e o par composto
(2,5); o par idêntico (3,3) também é consecutivo e o novo par composto seria o
próprio(2,3).
Diagrama de flechas ou sagital (def.) – Um par ordenado (a, b) representa-se graficamente por uma flecha que tem por origem a abcissa "a" e por extremidade a ordenada "b". No caso do par idêntico (a, a) a flecha obtida é denominada laço.
I – A abcissa "a" é marcada sobre o eixo x a partir da origem "O", no sentido da flecha se positiva, e contrário se negativa.
II – A ordenada "b" é marcada sobre o eixo y de maneira análoga.
III – A partir das terminações obtidas tiramos paralelos aos eixos x e y; o ponto "P", de interseção destas paralelas, é a representação gráfica cartesiana do par (a, b).
Exemplo 3: Representar cartesianamente o par (4, 2).
GRÁFICO
Observações:
(a) Um gráfico cartesiano não é necessariamente ortogonal, nem os
eixos são obrigatoriamente horizontal e vertical, nem tampouco as setas apontam para cima
e para direira. A representação acima é apenas a mais usada.
(b) Cada par ordenado de números reais está associado com um único ponto do plano e vice-versa.
(c) Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões determinadas quadrantes.
# Produto cartesiano de dois conjuntos
Dados dois conjuntos "A" e "B", denominados produto cartesiano de "A" por "B", ao conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), em que a abcissa pertence a "A" e a ordenada pertence a "B".
A X B = {(a, b)
/ a Î A Ù b Î
B}
A X B lê-se: "A cartesiano B" ou
"A xis B" ou "produto cartesiano de A por B".
Exemplo 4:
Dados A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
A X B = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}
# Representações gráficas dos produtos cartesianos
Diagrama sazital: A partir dos diagramas de Venn dos dois conjuntos "A" e "B", constroem-se todas as flechas que ligam os seus elementos.
Exemplo 6:
Dados A = {1, 2, 3} e B = {a, b}.
DIAGRAMAS
Tabela de dupla entrada: Escrevemos os elementos do 1° conjunto na 1ª coluna e os elementos do 2° conjunto na 1ª linha. Na interseção da linha ‘a’ com a coluna ‘b’ encontramos o par (a, b).
Exemplo 7:
O quadrado cartesiano sobre A = {1, 2, 3}, pode ser assim representado:
TABELA
Daí a origem do nome "diagonal" ,comentado anteriormente.
Diagrama cartesiano: A representação em eixos cartesianos ortogonais apresentará tantos pontos quantos sejam os pares do produto cartesiano. Particularmente importante é o caso em que os conjuntos "A" e "B" são intervalos reais, pois o diagrama será constituído, ao invés de pontos isolados, por retângulos totalmente preenchidos.
Exemplo 8: Dados os conjuntos "A" = [1, 4] e "B" = [2, 3] o produto cartesiano A X B = {(x, y) / x Î [1, 4] Ù y Î [2, 3]} será representado pelo retângulo seguinte:
GRÁFICO
# Propriedades do produto cartesiano
Cardinal: Se "A" tem m elementos e "B" tem n elementos, A X B possui m*n pares ordenados: n(A X B) = n(A) * n(B).
Inclusão: Se "A" ¹ Æ , teremos:
A X B Ì A X C Û B Ì C Û B X A Ì C X A
Distributividade: A X (B È C) = (A X B) È (A X C).
A X (B Ç C) = (A X B) Ç (A X C).
A X (B – C) = (A X B) – (A X C)
Interseção: (A X B) Ç (C X D) = (A Ç C) X (B Ç D)
# Relação
Dados dois conjuntos ‘A’ e ‘B’, chamamos relação binária de ‘A’ em ‘B’, ou simplesmente relação, todo subconjunto do produto cartesiano de A por B.
R Ì A x B <=> R é relação binária de ‘A’ em ‘B’
O conjunto R é formado por pares ordenados (x, y) tais que quando o par (x, y) pertence a relação R, escrevemos x R y (lê-se: "x erre y"), cada elemento ‘x’ de ‘A’ é "associado" a um elemento ‘y’ pertence a ‘B’ mediante critérios (regras) de "relacionamento". Caso contrário: (x, y) | R <=> x R y.
Exemplo 9:
Sejam A = {1, 3, 5, 8} e B = {2, 4, 8, 12}, então:
R = {(x, y) pertence a A x B / x > y} = {(3, 2), (5, 2), (5, 4), (8, 2), (8, 4)}.
Sabe-se que ‘A’ x ‘B’ possui 16 pares ordenados dos quais apenas 5
satisfazem à propriedade ‘x > y’ que está definindo a relação.
Observações:
(a) Se os conjuntos ‘A’ e ‘B’ são iguais, dizemos
que todo subconjunto de A x A é: uma relação binária em A ou uma relação binária em
quadrado cartesiano; seja A = {1, 3, 5}, os elementos da relação ‘R’ em
‘A’, definida por y-x=2, são R = {(1,3}, (3, 5)}.
(b) Numa relação de ‘A’ em ‘B’, ‘A’ é denominado conjunto de partida e ‘B’, conjunto de chegada.
# Domínio e Imagem de uma relação
Domínio de uma relação ‘R’ de ‘A’ em ‘B’ é o conjunto D(R), de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a ‘R’.
D(R) = {x pertence a A / (x, y) pertence a R}
Imagem de uma relação ‘R’ de ‘A’ em ‘B’ é o conjunto Im(R), de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a ‘R’.
Im(R) = {y pertence a B / (x, y) pertence a R}
Exemplo 10:
Sejam A = {1, 2, 3, 4} o conjunto de partida e B = {2, 3, 4, 5} o conjunto de chegada de
uma relação R, de A em B, definida pela propriedade y=2x.
Teremos então: R = {(1, 2), (2, 4)}. Logo:
D(R) = {(1, 2)}
Im(R) = {(2, 4)}
Assim, para que qualquer relação R de A em B, D(R) Ì A e Im(R) Ì B.
# Representações gráficas de uma relação
A saber, uma relação admite as mesmas formas de representação de um produto cartesiano: diagrama sagital, tabela de dupla entrada e diagrama cartesiano.
Exemplo 11:
Representar em diagramas de flechas a relação R, onde R = {(x,y) Î A X B / x < y}, A = {2, 4, 9,
12} e B = {1, 3, 5, 7}.
A B
Exemplo 12:
Representar em tabelas de dupla entrada a relação identidade em A = {1, 2, 3}.
Ia = {(x, x) Î A² / x Î A}
Ia = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
| A\A | 1 | 2 | 3 |
1 |
(1,1) |
||
2 |
(2,2) |
||
3 |
(3,3) |
Exemplo 13:
Representar em diagrama cartesiano a relação R. R = {(x, y) Î A x B / y = x-2}, onde A
= [2, 6] e B = [1, 4].
# Relação inversa ou recíproca
Seja R uma relação de A em B. Chamamos R-¹, relação inversa de R ou imagem de y Î B pela R, o conjunto formado por todos os pares ordenados (b, a) tais que (a, b) Î R.
R-¹ = {(b, a) Î B x A / (a, b) Î R}
Exemplo 14: Sejam A = {2, 3, 8, 9} e B = {1, 4, 7). Seja R a relação definida pela propriedade x < y, ou seja, R = {(2, 4), (2, 7), (3, 4), (3, 7)}, então R-¹ = {(4, 2), (7, 2), (4, 3), (7, 3)}.
Observações:
(a) A relação inversa de R-¹ é a relação R, ou seja, (R-¹)-¹ = R.
(b) O conjunto de
partida de R-¹ = B = conjunto de chegada de R.
O conjunto de chegada de R-¹ = A = conjunto de partida de R.
(c) O Domínio de R-¹ = D(R-¹) = Im(R).
A imagem de R-¹ = Im(R-¹) = D(R).
(d) Se a relação R de A em B está representada por um diagrama sagital, invertendo o sentido das flechas obtém-se o diagrama da relação inversa R-¹ de ‘B’ em ‘A’.
(e) Os diagramas cartesianos de R e de R-¹ são simétricos em relação à reta que contém a bissetriz do 1º quadrante.
# Propriedades das relações em um conjunto ‘A’
Propriedade Reflexiva
(def.) – Uma relação R em A diz-se reflexiva se, e somente se, possui (a, a) para
todo elemento de A.
Para todo a Î A => (a, a) Î R
Exemplo 15:
R = {(x, y) Î
N² : x é múltiplo de y}
R é reflexiva, pois qualquer número é múltiplo de si mesmo. A representação sagital apresenta laços (pares idênticos) para todos os elementos do conjunto.
Uma relação R em A diz-se irreflexiva se não possui nenhum par idêntico. No conjunto A = {1, 2, 3}, a relação R = {(1, 1), (2, 3), (3, 1)} não é reflexiva nem irreflexiva, pois possui um par idêntico (1, 1).
Conjunto A
Propriedade Simétrica (def.) – Uma relação R em A diz-se simétrica se, e somente se, para todo (a, b) Î R temos (b, a) Î R.
Para todo a, b Î A, (a, b) Î R => (b, a) Î R
Exemplo 16:
R = {(r, s) Î
L² / r ^ s}, onde L é
o conjunto das retas. R é simétrica, pois, se a reta r é perpendicular a s, evidentemente
a reta s será perpendicular a r, ou seja, r ^ s => s ^ r.
Na representação em diagrama sagital, se existe uma flecha da a para b, existirá necessariamente outra de b para a.
Uma relação R em A diz-se antissimétrica se quaisquer que sejam os elementos a e b de A, se (a, b) Î R e (b, a) Î R, então a = b. No conjunto A = {1, 2, 3}, a relação R = {(1, 2), (2, 2), (3, 1)} é antissimétrica.
FIGURA
Propriedade Transitiva (def.) – Uma relação R em A diz-se transitiva se, e somente se, quaisquer que sejam os elementos a, b e c de A, se (a, b) Î R e (b, c) Î R, então (a, c) Î R.
Para todo a, b, c Î A, (a, b) Î R e (b, c) Î R => (a, c) Î R
Exemplo 17:
R = {(x, y) Î
R² / x < y} é transitiva pois, se x < y e y < z, teremos x < z.
Na representação sagital teremos duas retas consecutivas e uma resultante da "soma" das primeiras.
Uma relação R em A diz-se intransitiva quando (a, b) Î R e (a, c) Ï R. Seja A = {1, 2, 3}, a relação R = {(1, 2), (2, 3)} é intransitiva.
FIGURA
# Relação de Ordem
Uma relação R em A é de ordem se for, simultaneamente, reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Exemplo 21:
A relação definida pela propriedade "menor ou igual a", no conjunto dos R, é
de ordem, pois se sabe que:
I – para todo real x, x = x, ou seja, existe o par (x, x).
II – se x = y e y = x, x = y, ou seja, se existem os pares (x., y) e (y, x) é porque x = y.
III – se x = y e y = z, temos x = z, logo (x, y) e (y, z) Î R => (x, z) Î R.
Mais exemplos:
1. Ser multiplo de, conjunto dos Z.
2. Ser divisor de, conjunto dos Z.
3. Relação de inclusão, de conjuntos.
Contra-exemplos:
.
A relação estritamente maior de
meninos;
. B = { x | x é angulo } e R : B -> B = { (x, y) | x é complementar de y }.
# Número de relações entre A e B
O produto cartesiano de dois conjuntos A( #A = w ) e B( #B = s ) possui(w.s) elementos, como já foi mencionado. Pode-se dizer que, como R Ì A X B, tem-se 2w*s relações possíveis entre A e B, pois se um conjunto tem p elementos a quantidade de subconjuntos é igual a 2p.