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# Noções preliminares

 # Par ordenado

Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim {1,0},
{c,d}, {-1,2} indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de conjuntos,
observamos que inverter a ordem dos elementos não produz um novo par:

{1,0}={0,1}.

Em diversas situaçõe, entretanto, faz-se necessário distinguir dois
pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações

t+u=1;
t-u=3;

t=2 e u=-1 é solução, ao passo que t=-1 e u=2 não é. Assim, {2,-1} seria
solução e {-1,2} não seria solução. Há uma contradição, pois sendo {2,-1}=
{-1,2}, o mesmo conjunto é e não é solução. Por isso diz-se que a solução é
o par ordenado (2,-1)onde fica subentendido que o primeiro elemento <2>
refere-se a incógnita 't' e o segundo elemento <-1> refere-se a incógnita 'u'.
Ou seja, os parênteses em substituição às chaves indicam que a ordem dos
elementos deve ser considerada.

Assim, dados dois elementos 'a' e 'b', denomina-se par ordenado a
um terceiro elemento da forma (a,b) que satisfaz às seguintes propriedades
fundamentais:

I - a ¹b => (a,b) ¹(b,a);

II - (a,b)=(b,a) => a=b;

A exemplo do que ocorre entre os pontos da reta e os números reais,
temos entre pontos de um plano e pares ordenados uma perfeita correspondência
biunívoca.

Observações:

a) Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais se e somente se a=c e c=d.

b) Um par ordenado do tipo (a,a) é determinado par idêntico.

c) Num par (a,b), 'a' é denomionada 1ª coordenada, 1ª projeção ou
abscissa do par, e 'b' de 2ª coordenada, 2ª projeção ou ordenada do par.

d) Um par ordenado (a,b) tem como consecutivo todo par ordendo do tipo
(b,c); o par (a,c) é denominado composto dos dois primeiros.

Exemplo 1:
Dado o par (2,3), podemos dizer que (3,5) é um dos seus consecutivo e o par composto (2,5); o par idêntico (3,3) também é consecutivo e o novo par composto seria o próprio(2,3).

# Representações gráficas dos pares ordenados

  Diagrama de flechas ou sagital (def.) – Um par ordenado (a, b) representa-se graficamente por uma flecha que tem por origem a abcissa "a" e por extremidade a ordenada "b". No caso do par idêntico (a, a) a flecha obtida é denominada laço.

Exemplo 2: Observem os diagramas sagitais dos pares (2, 3) e (4, 4).

                       conjunto.gif (3959 bytes)
 
Diagrama cartesiano (def.) – Consideremos dois eixos perpendiculares, x e y, que se interceptam num ponto "O", denominado origem do sistema cartesiano ortogonal. Conforme mencionado, a cada par ordenado (a, b) será associado um ponto "P" do plano. Tem-se que:

I – A abcissa "a" é marcada sobre o eixo x a partir da origem "O", no sentido da flecha se positiva, e contrário se negativa.

II – A ordenada "b" é marcada sobre o eixo y de maneira análoga.

III – A partir das terminações obtidas tiramos paralelos aos eixos x e y; o ponto "P", de interseção destas paralelas, é a representação gráfica cartesiana do par (a, b).

Exemplo 3: Representar cartesianamente o par (4, 2).

GRÁFICO

grafico.gif (3792 bytes)

Observações:
(a) Um gráfico cartesiano não é necessariamente ortogonal, nem os eixos são obrigatoriamente horizontal e vertical, nem tampouco as setas apontam para cima e para direira. A representação acima é apenas a mais usada.

(b) Cada par ordenado de números reais está associado com um único ponto do plano e vice-versa.

(c) Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões determinadas quadrantes.

 

# Produto cartesiano de dois conjuntos

Dados dois conjuntos "A" e "B", denominados produto cartesiano de "A" por "B", ao conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), em que a abcissa pertence a "A" e a ordenada pertence a "B".

A X B = {(a, b) / a Î A Ù b Î B}
A X B lê-se: "A cartesiano B" ou "A xis B" ou "produto cartesiano de A por B".

Exemplo 4:
Dados A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
A X B = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}

Observações:
(a) Se
A ¹ B, A X B ¹ B X A; o produto cartesiano não é comutativo.

(b) Se A = Æ , Æ X B = Æ ; se um dos conjuntos é vazio, o produto cartesiano também é vazio.

(c) Se A = B, A X B = B X A = A X A = A², denominado quadrado cartesiano.

Exemplo 5:
Dado A = {1, 2, 3}.
A² = A X A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}, o conjunto dos pares idênticos de A² é denominado de "diagonal" do quadrado, Da = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.

 

# Representações gráficas dos produtos cartesianos

  Diagrama sazital: A partir dos diagramas de Venn dos dois conjuntos "A" e "B", constroem-se todas as flechas que ligam os seus elementos.

Exemplo 6:
Dados A = {1, 2, 3} e B = {a, b}.

DIAGRAMAS

   Tabela de dupla entrada: Escrevemos os elementos do 1° conjunto na 1ª coluna e os elementos do 2° conjunto na 1ª linha. Na interseção da linha ‘a’ com a coluna ‘b’ encontramos o par (a, b).

Exemplo 7:
  O quadrado cartesiano sobre A = {1, 2, 3}, pode ser assim representado:

TABELA

Daí a origem do nome "diagonal" ,comentado anteriormente.

  Diagrama cartesiano: A representação em eixos cartesianos ortogonais apresentará tantos pontos quantos sejam os pares do produto cartesiano. Particularmente importante é o caso em que os conjuntos "A" e "B" são intervalos reais, pois o diagrama será constituído, ao invés de pontos isolados, por retângulos totalmente preenchidos.

Exemplo 8: Dados os conjuntos "A" = [1, 4] e "B" = [2, 3] o produto cartesiano A X B = {(x, y) / x Î [1, 4] Ù y Î [2, 3]} será representado pelo retângulo seguinte:

GRÁFICO

grafico2.gif (3724 bytes)

# Propriedades do produto cartesiano

   Cardinal: Se "A" tem m elementos e "B" tem n elementos, A X B possui m*n pares ordenados: n(A X B) = n(A) * n(B).

  Inclusão: Se "A" ¹ Æ , teremos:

A X B Ì A X C Û B Ì C Û B X A Ì C X A

  Distributividade: A X (B È C) = (A X B) È (A X C).

A X (B Ç C) = (A X B) Ç (A X C).

A X (B – C) = (A X B) – (A X C)

  Interseção:  (A X B) Ç (C X D) = (A Ç C) X (B Ç D)

 

# Relação

Dados dois conjuntos ‘A’ e ‘B’, chamamos relação binária de ‘A’ em ‘B’, ou simplesmente relação, todo subconjunto do produto cartesiano de A por B.

R Ì A x B <=> R é relação binária de ‘A’ em ‘B’

O conjunto R é formado por pares ordenados (x, y) tais que quando o par (x, y) pertence a relação R, escrevemos x R y (lê-se: "x erre y"), cada elemento ‘x’ de ‘A’ é "associado" a um elemento ‘y’ pertence a ‘B’ mediante critérios (regras) de "relacionamento". Caso contrário: (x, y) | R <=> x R y.

Exemplo 9:
Sejam A = {1, 3, 5, 8} e B = {2, 4, 8, 12}, então:
R = {(x, y) pertence a A x B / x > y} = {(3, 2), (5, 2), (5, 4), (8, 2), (8, 4)}. Sabe-se que ‘A’ x ‘B’ possui 16 pares ordenados dos quais apenas 5 satisfazem à propriedade ‘x > y’ que está definindo a relação.

Observações:
(a) Se os conjuntos ‘A’ e ‘B’ são iguais, dizemos que todo subconjunto de A x A é: uma relação binária em A ou uma relação binária em quadrado cartesiano; seja A = {1, 3, 5}, os elementos da relação ‘R’ em ‘A’, definida por y-x=2, são R = {(1,3}, (3, 5)}.

(b) Numa relação de ‘A’ em ‘B’, ‘A’ é denominado conjunto de partida e ‘B’, conjunto de chegada.

 

# Domínio e Imagem de uma relação

Domínio de uma relação ‘R’ de ‘A’ em ‘B’ é o conjunto D(R), de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a ‘R’.

D(R) = {x pertence a A / (x, y) pertence a R}

Imagem de uma relação ‘R’ de ‘A’ em ‘B’ é o conjunto Im(R), de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a ‘R’.

Im(R) = {y pertence a B / (x, y) pertence a R}

Exemplo 10:
Sejam A = {1, 2, 3, 4} o conjunto de partida e B = {2, 3, 4, 5} o conjunto de chegada de uma relação R, de A em B, definida pela propriedade y=2x.
Teremos então: R = {(1, 2), (2, 4)}. Logo:

D(R) = {(1, 2)}
Im(R) = {(2, 4)}

Assim, para que qualquer relação R de A em B, D(R) Ì A e Im(R) Ì B. 

 

# Representações gráficas de uma relação

A saber, uma relação admite as mesmas formas de representação de um produto cartesiano: diagrama sagital, tabela de dupla entrada e diagrama cartesiano.

Exemplo 11:
  Representar em diagramas de flechas a relação R, onde R = {(x,y)
Î A X B / x < y}, A = {2, 4, 9, 12} e B = {1, 3, 5, 7}.

            A            B
   
conjunto2.GIF (3823 bytes)
Exemplo 12:
Representar em tabelas de dupla entrada a relação identidade em A = {1, 2, 3}.

Ia = {(x, x) Î A² / x Î A}
Ia = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

A\A 1 2 3

1

(1,1)

   

2

 

(2,2)

 

3

   

(3,3)


Exemplo 13:
Representar em diagrama cartesiano a relação R. R = {(x, y)
Î A x B / y = x-2}, onde A = [2, 6] e B = [1, 4].
grafico3.gif (3841 bytes)


# Relação inversa ou recíproca

Seja R uma relação de A em B. Chamamos R-¹, relação inversa de R ou imagem de y Î B pela R, o conjunto formado por todos os pares ordenados (b, a) tais que (a, b) Î R.

R-¹ = {(b, a) Î B x A / (a, b) Î R}

Exemplo 14: Sejam A = {2, 3, 8, 9} e B = {1, 4, 7). Seja R a relação definida pela propriedade x < y, ou seja, R = {(2, 4), (2, 7), (3, 4), (3, 7)}, então R-¹ = {(4, 2), (7, 2), (4, 3), (7, 3)}.

Observações:
(a) A relação inversa de R-¹ é a relação R, ou seja, (R-¹)-¹ = R.

(b) O conjunto de partida de R-¹ = B = conjunto de chegada de R.
     O conjunto de chegada de R-¹ = A = conjunto de partida de R.

(c) O Domínio de R-¹ = D(R-¹) = Im(R).
     A imagem de R-¹ = Im(R-¹) = D(R).

(d) Se a relação R de A em B está representada por um diagrama sagital, invertendo o sentido das flechas obtém-se o diagrama da relação inversa R-¹ de ‘B’ em ‘A’.

(e) Os diagramas cartesianos de R e de R-¹ são simétricos em relação à reta que contém a bissetriz do 1º quadrante.

 

# Propriedades das relações em um conjunto ‘A’

   Propriedade Reflexiva (def.) – Uma relação R em A diz-se reflexiva se, e somente se, possui (a, a) para todo elemento de A.

Para todo a Î A => (a, a) Î R

Exemplo 15:
  R = {(x, y)
Î N² : x é múltiplo de y}

R é reflexiva, pois qualquer número é múltiplo de si mesmo. A representação sagital apresenta laços (pares idênticos) para todos os elementos do conjunto.

Uma relação R em A diz-se irreflexiva se não possui nenhum par idêntico. No conjunto A = {1, 2, 3}, a relação R = {(1, 1), (2, 3), (3, 1)} não é reflexiva nem irreflexiva, pois possui um par idêntico (1, 1).

        Conjunto A

figura.jpg (30132 bytes)

   Propriedade Simétrica (def.) – Uma relação R em A diz-se simétrica se, e somente se, para todo (a, b) Î R temos (b, a) Î R.

Para todo a, b Î A, (a, b) Î R => (b, a) Î R

Exemplo 16:
  R = {(r, s)
Î L² / r ^ s}, onde L é o conjunto das retas. R é simétrica, pois, se a reta r é perpendicular a s, evidentemente a reta s será perpendicular a r, ou seja, r ^ s => s ^ r.

Na representação em diagrama sagital, se existe uma flecha da a para b, existirá necessariamente outra de b para a.

Uma relação R em A diz-se antissimétrica se quaisquer que sejam os elementos a e b de A, se (a, b) Î R e (b, a) Î R, então a = b. No conjunto A = {1, 2, 3}, a relação R = {(1, 2), (2, 2), (3, 1)} é antissimétrica.

 

FIGURA

   Propriedade Transitiva (def.) – Uma relação R em A diz-se transitiva se, e somente se, quaisquer que sejam os elementos a, b e c de A, se (a, b) Î R e (b, c) Î R, então (a, c) Î R.

Para todo a, b, c Î A, (a, b) Î R e (b, c) Î R => (a, c) Î R

Exemplo 17:
  R = {(x, y)
Î R² / x < y} é transitiva pois, se x < y e y < z, teremos x < z.

Na representação sagital teremos duas retas consecutivas e uma resultante da "soma" das primeiras.

Uma relação R em A diz-se intransitiva quando (a, b) Î R e (a, c) Ï R. Seja A = {1, 2, 3}, a relação R = {(1, 2), (2, 3)} é intransitiva.

 

FIGURA

# Relação de Ordem

Uma relação R em A é de ordem se for, simultaneamente, reflexiva, antissimétrica e transitiva.

Exemplo 21:
A relação definida pela propriedade "menor ou igual a", no conjunto dos R, é de ordem, pois se sabe que:

I – para todo real x, x = x, ou seja, existe o par (x, x).

II – se x = y e y = x, x = y, ou seja, se existem os pares (x., y) e (y, x) é porque x = y.

III – se x = y e y = z, temos x = z, logo (x, y) e (y, z) Î R => (x, z) Î R.

Mais exemplos:

1. Ser multiplo de, conjunto dos Z.
2. Ser divisor de, conjunto dos Z.
3. Rela
ção de inclusão, de conjuntos.

Contra-exemplos:

. A relação estritamente maior de meninos;
. B = { x | x é angulo } e R : B -> B = { (x, y) | x é
complementar de y }.

# Número de relações entre A e B

    O produto cartesiano de dois conjuntos A( #A = w ) e B( #B = s ) possui(w.s) elementos, como já foi mencionado. Pode-se dizer que, como R Ì A X B, tem-se 2w*s  relações possíveis entre A e B, pois se um conjunto tem p elementos a quantidade de subconjuntos é igual a 2p.