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  1. Definição
  2. Gráfico de uma função
  3. Função Injetiva
  4. Função Sobrejetiva
  5. Função Bijetiva
  6. Função Identidade
  7. Função Constante
  8. Função Composta


 
 
  1. Definição

    Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos:
    Função de A em B é uma relação que a cada elemento "x" de A faz correspoder um único elemento "y" de B.
    Notemos que: Temos que: Notações importantes: Resumindo:
    D( f ) = A e Im( f ) = {y B / existe x  A / f (x) = y }

    Para que a função f fique bem definida precisamos dizer qual é o domínio (A), o contra domínio (B) e a regra que cada x de A que faz corresponder o elemento y = f (x) de B.

    Exemplos:


  2. Topo
     

  3. Gráfico de uma função


    Quando o domínio e o contra domínio de uma função f são subconjuntos de IR dizemos que f é uma função real de variável real. Nesse caso podemos fazer uma representação geométrica da função assinalando num sistema de coordenadas cartesianas os pontos (x,y), com x D(f) e y = f(x). Esse pontos formam o que chamamos de gráfico de f.



    Exemplos:


    Fazer o gráfico de f(x) = 2x-3, definida em D(f) = IR.

    Para x = 0, y = f(0) = 2 * 0 - 3 = -3;
    Para x = 1, y = f(1) = 2 * 1 - 3 = -1;
    Para x = 2, y = f(2) = 2 * 2 - 3 = 1;
    Para x = 3, y = f(3) = 2 * 3 - 3 = 3;
    Para x = 4, y = f(4) = 2 * 4 - 3 = 5;
    Para x = 5, y = f(5) = 2 * 5 - 3 = 7;
    Para x = 6, y = f(6) = 2 * 6 - 3 = 9;

    O gráfico é a reta vermelha (não tem fim de um lado nem do outro).
    Quando temos o gráfico de uma função f , podemos ter nos eixos coordenados o domínio e a imagem de f.
    O domínio é constituído pelas abscissas "x" dos pontos do gráfico.
    A imagem é formada pelas ordenadas "y" dos pontos do gráfico.



    De acordo com a definição de função, para cada "x" do domínio deve existir em correspondência um único "y" na imagem. Isso significa que, se tracarmos pelos pontos do domínio retas paralelas ao eixo y, cada reta deverá cortar o gráfico da função num único ponto. Se uma reta paralela ao eixo y cortar um gráfico em mais de um ponto, então esse gráfico não é o de uma função.


    Exemplo:

    Resumindo:


  4. Topo
     

  5. Função Injetiva


    Uma função f:AB é uma função injetiva se para cada "y" da imagem de f existe um único "x" do domínio A, tal que
    f(x) = y.

    Exemplos:

  6. Topo
     
  7. Função Sobrejetiva


    Uma função f:AB é sobrejetiva se a imagem de f for igual ao contradomínio de B.

    Exemplos:


  8. Topo
     
  9. Função Bijetiva


    Uma função f:AB é bijetiva se for simultâneamente injetiva e sobrejetiva.

    Exemplos:


  10. Topo
     

  11. Função Identidade


    Nós já indicamos como várias coleções de objetos podem ser indexados. Por exemplo, {Ak : k IN} pode representar uma família de subconjuntos de IR indexados sobre IN, enquanto {p(n) : n  IP}, pode representar um conjunto de proposições  indexadas por IP. Estas indexações podem ser feitas mais precisamente usando funções, como nós já ilustramos.
    A indexação comum (Ak, k  IN}pode ser descrita por uma função f de domínio IN tal que f(k) = Ak para todo IN. A (contra domínio de f) é o conjunto P( IR ) de todos os subconjuntos de IR. A função f será injetiva se e somente se o conjunto Ak e Aj com índices diferentes são sempre diferentes.
    Para o conjunto {p(n) : n  IP}, nós podemos também representar o símbolo p como uma função com domínio IP, tal que p é uma função com valores dados por proposição . Como antes, para cada n pertencente a IP, p(n) representa alguma proposição.
    Em geral, uma indexação comum de objetos {xi : i  I} pode ser descrito com uma função, dita g, com domínio I tal que g(i) = xi para todo i  I. A função g é injetiva se e somente se xi != xj com i != j.

    Algumas funções especiais ocorrem sempre que elas possuem nomes especais. Dado S um conjunto não vazio. A função Identidade Ids é a função que manda cada elemento de S para si mesmo.

    Ids(x)x para todo x  S

    Esta é a função identidade correspondente de S em S.


  12. Topo
     
  13. Função Constante


    Uma funcão f:ST é dita uma função constante se há algum y0  T tal que f(x) = y0 para todo S. O valor da função constante dada não varia com a variação do valor de x em S.


  14. Topo
     
  15. Função Composta


    A função f:IRIR, definida para f (x) = x2, transforma cada número real "x" no seu quadrado "x2 "

    A função g:IRIR, definida or g(x) = 3x, transforma cada número real x no seu triplo 3x.

    Já a função h:IRIR, definida por h(x) = 3x2 , transforma cada número real x no triplo do seu quadrado 3x2 . Essa transformação é feita em duas etapas: 1º eleva x ao quadrado (aplica a x a função f) e depois multiplica x2 por 3 (aplica x2 a função g):

    Dizemos que h é a função composta de g e f e representamos h = g ° f (leia: g composta f).
    Note que:

    De modo geral, dadas as funções f:AB e g:CD, com Im(f) c C, denominamos função composta de g e f à função g ° f:AD, que é definida por (g ° f) = g(f(x)), para todo A.
    Exemplos:
    1-Sendo f(x) = 5x e g(x) = x3 .Obter:
    a)(g ° f)(2)

    b)(g ° f)(x)

    Resolução:

    a)(g ° f)(2)= g(f(2))
    1º calculamos f(2). Temos f(2) = 5 * 2 = 10.
    Então: g(f(2)) = g(10) = 103 = 1000.

    b)(g ° f)(x)=g(f(x)) = g(5x) = (5x)3 = 125x3

    2-Se f (x) = x4 para x  [0, ¥), g(x)= 0  para x  [0, ¥) e h(x) = x2 +1 para x  IR, temos:

    h ° g ° f(x) = h(g(x4 )) = h() = (x4 +2) +1
    h ° g ° f(x) = x4 + 3 para x  [0, ¥)

    f ° g ° h(x) = f(g(x2 +1)) = f ()
    f ° g ° h(x) = (x2 + 3)2 para x  IR.

    f ° h ° g(x) = f(h()) = f (x+1+2)
    f ° h ° g(x) = (x+3)4 para x  [0, ¥).


  16. Topo